Question

19．已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）求g（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≥x+（1-x）•e^x在x≥0時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，分a≤0，a＞0討論；
（Ⅱ）f（x）≥x+（1-x）e^x，即e^x-ax²≥x+e^x-xe^x，即e^x-ax-1≥0，
令h（x）=e^x-ax-1，分a≤1，a＞1討論求得實數(shù)a的取值范圍；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，
當a≤0時，g'（x）＞0恒成立，g（x）無極值；
當a＞0時，g'（x）=0，即x=ln（2a），
由g'（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g'（x）＜0，得x＜ln（2a），
所以當x=ln（2a）時，有極小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）f（x）≥x+（1-x）e^x，即e^x-ax²≥x+e^x-xe^x，即e^x-ax-1≥0，
令h（x）=e^x-ax-1，則h'（x）=e^x-a，
當a≤1時，由x≥0知h'（x）≥0，∴h（x）≥h（0）=0，原不等式成立，
當a＞1時，h'（x）=0，即x=lna，h'（x）＞0，得x＞lna；h'（x）＜0，得x＜lna，
所以h（x）在（0，lna）上單調遞減，
又∵h（0）=0，∴a＞1不合題意，
綜上，a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，分類討論思想、轉化思想，屬于中檔題．