Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a×2x-1

1+2x

（a∈R），且對任意x∈R，均滿足f（-x）=-f（x）
（1）求a的值；
（2）求f（4）的值；
（3）解不等式：0＜f（x-2）＜

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．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數(shù)的周期性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），化簡整理，即可得到a=1；
（2）寫出f（x）的解析式，代入x=4，即可得到；
（3）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由f（0）=0，f（4）=

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，即可得到0＜x-2＜4，解得即可得到解集．

解答： 解：（1）由f（-x）=-f（x），可得

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，
即有a-2^x=1-a•2^x，即為（a-1）•2^x=1-a，
由于x∈R，則a=1；
（2）由于f（x）=

2x-1

2x+1

，
則f（4）=

24-1

24+1

=

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；
（3）由于f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
由y=2^x遞增，y=2^x+1遞增，y=

2

2x+1

遞減，
則f（x）在R上遞增．
且有f（0）=0，f（4）=

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，
不等式0＜f（x-2）＜

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，
即為f（0）＜f（x-2）＜f（4），
則有0＜x-2＜4，
解得2＜x＜6．
則解集為（2，6）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．