Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為，求PB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中點，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得PO⊥BC，結(jié)合側(cè)面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得PO⊥平面ABCD；
（2）以點O為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OP=t，分別求出直線PA與BD的方向向量，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，即可得到PA⊥BD
（3）分別求出平面DPA與平面PAO的法向量，根據(jù)二面角D-PA-O的余弦值為，代入向量夾角公式，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方法即可得到PB的長．
解答：解：（1）證明：因為PB=PC，O是BC的中點，
所以PO⊥BC，
又側(cè)面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（4分）
（2）證明：以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)OP=t（t＞0），則P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（-1，1，0），
=（1，2，-t），=（-2，1，0），
因為•=0，所以⊥，
即PA⊥BD．…（8分）
（3）設(shè)平面PAD和平面PAO的法向量分別為=（a，b，c），=（x，y，z），
注意到=（-1，1，-t），=（1，2，0），=（0，0，t），
由，令a=1得，=（1，-2，），
由令y=-1得，=（2，-1，0），
所以cos60°===，
解之得t=，所以PB==2為所求．…（12分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2），（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間中直線與平面之間的關(guān)系及夾角轉(zhuǎn)化為向量的夾角．