Question

設(shè)集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“和諧垂直偶點(diǎn)集”，給出下列四個(gè)集合：
（1）M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；
（2）M=（x，y）|y=ln（x-1）}；
（3）M={（x，y）|y=sinx+1}；
（4）M={（x，y）|y=e^x-3}．
其中是“和諧垂直偶點(diǎn)集”的序號(hào)是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（4）
• D、（3）（4）

Answer 1

分析：利用x負(fù)半軸，y的正半軸為漸近線的曲線，判斷其正誤即可．對(duì)于②、③、④通過(guò)函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；

解答：解：對(duì)于①，M={（x，y）|y=x^-2，x＜0}；以x負(fù)半軸，y的正半軸為漸近線的曲線，x負(fù)半軸，y的正半軸的夾角為90°，在同一支上，
任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對(duì)任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足“和諧垂直偶點(diǎn)集”的定義，不是“和諧垂直偶點(diǎn)集”．
對(duì)于②，M={（x，y）|y=ln（x-1）}，取點(diǎn)（2，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是“和諧垂直偶點(diǎn)集”．
對(duì)于③，M={（x，y）|y=sinx+1}，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“和諧垂直偶點(diǎn)集”的定義，所以M是“和諧垂直偶點(diǎn)集”；正確．
對(duì)于④，M={（x，y）|y=e^x-3}，如下圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-2），則N（ln3，0），滿足“和諧垂直偶點(diǎn)集”的定義，所以是“和諧垂直偶點(diǎn)集”；正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查“和諧垂直偶點(diǎn)集”的定義，利用對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關(guān)鍵，函數(shù)的基本性質(zhì)的考查，注意存在與任意的區(qū)別．