Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且•
（I）求動點P的軌跡C的方程；
（II）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M．
（1）已知，求λ₁+λ₂的值
（2）求||•||的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設點P（x，y），由題中條件：“”得：x，y之間的關系，化簡得C：y²=4x．
（II）（1）設直線AB的方程為：x=my+1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-）
聯(lián)立方程組，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合直線l與雙曲線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結合根與系數(shù)的關系及向量的條件，從而解決問題．
（II）（2）先將•=（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|表示成關于m的函數(shù)形式，再利用基本不等式求此函數(shù)式的最小值即可．
解答：解：（I）設點P（x，y），則Q（-1，y），由得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化簡得C：y²=4x．
（II）（1）設直線AB的方程為：
x=my+1（m≠0）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（-1，-）
聯(lián)立方程組，
消去x得：y₂-4my-4=0，
△=（-4m）²+12＞0，
由，
得：，
整理得：，
∴
=
=-2-
=0．
（II）（2）解：•=（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|
=（1+m²）|y₁y₂-y_M（y₁+y₂）+y_M²|
=（1+m²）|-4+×4m+|
=
=4（2+m²+）≥4（2+2）=16、
當且僅當，即m=±1時等號成立，所以•最小值為16．
點評：本小題考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．