Question

如圖，已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B=60°，F(xiàn)在AC上，
且AE=AF．
（1）證明：B，D，H，E四點(diǎn)共圓；
（2）證明：CE平分∠DEF．

Answer 1

【答案】分析：（I），要證明B，D，H，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)四點(diǎn)共圓定理只要證∠EBD+∠EHD=180°即可
（II）由（I）知B，D，H，E四點(diǎn)共圓可得∠CED=30°，要證CE平分∠DEF，只要證明∠CEF=30°即可
解答：解：（I）在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°
所以∠BAC+∠BCA=120°
因?yàn)锳D，CE是角平分線
所以∠AHC=120°（3分）
于是∠EHD=∠AHC=120°
因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四點(diǎn)共圓（5分）
（II）連接BH，則BH為∠ABC得平分線，得∠HBD=30°
由（I）知B，D，H，E四點(diǎn)共圓
所以∠CED=∠HBD=30°（8分）又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得，EF⊥AD，可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF

點(diǎn)評(píng)：本題主要證明平面幾何中四點(diǎn)共圓的判定理及性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活利用平面幾何的定理，屬于基本定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用．