【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)的離心率為 ,直線x+y+ =0與橢圓E僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),求△ABO面積的最大值.
【答案】
(1)解:由 ,得 ,即 ,∴a2=2b2,
則橢圓方程為x2+2y2﹣2b2=0.
聯(lián)立 ,消去y得, ,
由 ,解得:b2=1.
∴橢圓方程為:
(2)解:∵直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,
∴原點(diǎn)O到直線l的距離為 .
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=± ,代入橢圓 ,得y= ,
不妨設(shè)A( ),B( ),
則 ;
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,即kx﹣y+m=0,
由 ,得4m2=3k2+3.
聯(lián)立 ,消去y得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.
,
∴|AB|= = = .
設(shè)k2=t,
令y= ,則(4y﹣5)t2+(4y﹣6)t+y﹣1=0,
當(dāng)y= 時(shí),可得t= ,符合題意;
當(dāng)y 時(shí),由△=(4y﹣6)2﹣(4y﹣5)(4y﹣4)≥0,得y 且y .
綜上,y .
∴當(dāng)斜率存在時(shí), = .
綜①②可知,△ABO面積的最大值為
【解析】(1)由橢圓的離心率可得a2=2b2 , 得到橢圓方程x2+2y2﹣2b2=0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由判別式等于0求得b2 , 則橢圓方程可求;(2)由直線l被圓O:x2+y2=3所截得的弦長(zhǎng)為3,得到坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為 ,然后分直線l的斜率存在和不存在兩種情況求△ABO面積,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直接求解,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程y=kx+m,由原點(diǎn)到直線的距離列式,把m用含有k的代數(shù)式表示,然后再由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),換元后利用判別式法求得弦長(zhǎng)的最大值,求出斜率存在時(shí)△ABO面積的最大值,最后比較得答案.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)x∈R,使f(x)≥t2﹣ t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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【題目】如圖,在五面體ABCDPN中,棱PA⊥面ABCD,AB=AP=2PN,底面ABCD是菱形,∠BAD= .
(1)求證:PN∥AB;
(2)求NC與平面BDN所成角的正弦值.
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【題目】如圖四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(12分)
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(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
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【題目】公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出n的值為 . (參考數(shù)據(jù):sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)
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(Ⅰ)求函數(shù)的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,若向量與共線,求的值.
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【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則它的體積為( )
A.48
B.16
C.32
D.16
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【題目】如圖所示,在棱錐中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面是菱形,且,為的中點(diǎn),二面角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的大小.
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【題目】已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為,過點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C相交于兩點(diǎn),橢圓的左頂點(diǎn)為,連接并延長(zhǎng)交直線于兩點(diǎn) ,分別為的縱坐標(biāo),且滿足.求證:直線過定點(diǎn).
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