Question

已知f（x）=ax³+bx+c圖象過點(0，-

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)，且在x=1處的切線方程是y=-3x-1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）首先由圖象過點(0，-

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)求出c的值，代入函數(shù)解析式后求導數(shù)，由在x=1處的切線方程是y=-3x-1得到f'（1）=3a（1）²+b=-3，切點在f（x）上得到關于a，b的另一方程，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)（-3，3）上的極值，和端點值比較后得最值．

解答：解：（1）由f(0)=-

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⇒c=-

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，
∴f（x）=ax³+bx-

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．則
f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3a（1）²+b，∴3a+b=-3，
又∵切點為（1，-4），∴f(1)=a+b-

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=-4，
聯(lián)立可得a=

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3

，b=-4．
∴f(x)=

1

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x3-4x-

1

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；
（2）由f(x)=

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3

x3-4x-

1

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⇒f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0⇒x²-4=0⇒x=±2，
令f'（x）＞0⇒x²-4＞0⇒x＜-2或x＞2，
令f'（x）＜0⇒x²-4＜0⇒-2＜x＜2，

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↗	5	↘	- 17 3	↗	- 10 3

由上表知，在區(qū)間[-3，3]上，當x=-2時，y_max=f（-2）=5，
當x=2時，ymin=f(2)=-

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．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．訓練了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程．
是有一定難度題目．