Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，已知c=2，C=

π

3

（1）求△ABC的面積S的最大值；
（2）若sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c與cosC的值代入，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可確定出三角形面積的最大值；
（2）已知等式左邊變形后，利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理得到A的度數(shù)為

π

2

或A=B，即可確定出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）∵c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即

a2+b2-4

2ab

=

1

2

，
整理得：a²+b²=ab+4，
∵a²+b²≥2ab，
∴ab+4≥2ab，即ab≤4，
∴S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
則S的最大值為

3

；
（2）將sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A，化簡得：2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA=0或sinA=sinB，
∵A與B都為三角形內(nèi)角，
∴A=

π

2

或A=B，
當(dāng)A=

π

2

時(shí)，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc=

2 3

3

；
當(dāng)A=B時(shí)，△ABC為等邊三角形，S_△ABC=

1

2

c²sin

π

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．