Question

甲、乙兩名乒乓球運動員進行比賽，采用五局三勝制．若每一局比賽甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝的概率為

1

3

．現已完成一局比賽，乙暫時以1：0領先．
（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；
（2）設比賽結束時比賽的局數為X，求隨機變量X的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）甲獲得這次比賽勝利，包括甲以3：1獲勝和甲以3：2獲勝，而前兩種情況是互斥的，根據獨立重復試驗公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到結果．
（2）比賽結束時比賽的局數為X，則X的可能取值是3、4、5，當X=3時，乙獲得比賽勝利，當X=4時，甲和乙都有可能勝利，包括甲第2、3、4局都勝，或是乙，第2、3局勝一局，第4局一定勝，當X=5時，乙勝的具體情況為：第一場乙勝，后面三場里只有一場勝，有兩場輸，最后一場勝．

解答：解：（1）設甲獲勝為事件A，則甲獲勝包括甲以3：1獲勝（記為事件A₁）和甲以3：2獲勝（記為事件A₂），且事件A₁，A₂為互斥事件，
∴P（A）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=(

2

3

)3+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

+

8

27

=

16

27

．
答：甲獲得這次比賽勝利的概率為

16

27

．
（2）隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，
隨機變量的分布列為
P（X=3）=(

1

3

)2=

1

9

，
P（X=4）=

8

27

+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

9

，
P（X=5）=

8

27

+

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

1

3

=

4

9

．
∴隨機變量X的數學期望為E（X）=3×

1

9

+4×

4

9

+5×

4

9

=

13

3

．

點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設置密切貼近現實生活的情境，考查概率思想的應用意識和創(chuàng)新意識．