Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值．
（1）求c的值；
（2）若x∈[0，9]，求函數(shù)f（x）的最值
（3）是否存在實數(shù)k，使得對?x₁，x₂∈[0，9]恒有f（x₁）-f（x₂）＜k成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)在x=2處有極大值得到f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=0解出c的值即可；
（2）在區(qū)間[0，9]上，利用c的值加上函數(shù)的駐點來分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值；
（3）對?x₁，x₂∈[0，9]恒有f（x₁）-f（x₂）＜k成立意思是當k大于f（x₁）-f（x₂）的最大值即為恒成立，即當f（x₁）最大，f（x₂）最小時f（x₁）-f（x₂）有最大值，即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，
令f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=0得到x=c或x=

c

3

，
則c=2或c=6；
（2）由c=6得f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3（x-6）（x-2）
當f′（x）＞0即x∈[0，2）∪（6，9]，f（x）為遞增函數(shù)；當f′（x）＜0即x∈（2，6）時，f（x）為遞減函數(shù)．
所以f（x）_max=f（2）=32，f（x）_min=f（6）=0；
由c=2得f（x）=x（x-2）²，f′（x）=3（x-

2

3

）（x-2）
當f′（x）＞0即x∈[0，

2

3

）∪（2，9]，f（x）為遞增函數(shù)；當f′（x）＜0即x∈（

2

3

，2）時，f（x）為遞減函數(shù)．
所以f（x）_max=f（

2

3

）=

32

27

，f（x）_min=f（2）=0；
（3）找出f（x₁）-f（x₂）的最大值，當c=6時，f（x₁）-f（x₂）=f（x）_max-f（x）_min=32-0=32，則k＞32；
當c=2時，f（x₁）-f（x₂）=f（x）_max-f（x）_min=

32

27

，則k＞

32

27

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．