Question

已知直線l過點(diǎn)P（1，2）為，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)OP⊥l時，求直線l的方程；
（2）當(dāng)△OAB面積最小時，求直線l的方程并求出面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系算出直線l的斜率為-

1

2

，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡即得直線l的方程；
（2）設(shè)直線l方程為截距式：

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入并利用基本不等式，可得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時等號成立．由此即可算出△OAB面積的最小值及相應(yīng)的直線l的方程．

解答：解：（1）由已知得：k_OP=2，
∴直線l的斜率為kl=-

1

kop

=-

1

2

，…（2分）
由直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線l的方程為y-2=-

1

2

(x-1)，
化簡得直線l的方程為x+2y-5=0…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，
∵直線過P（1，2），∴

1

a

+

2

b

=1
∵1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

=

8 ab

∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時等號成立
此時S△ABC=

1

2

ab≥4，即面積的最小值為4…（8分）
所求直線l的方程是

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0…（10分）

點(diǎn)評：本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)，求使直線被坐標(biāo)軸截得三角形面積最小時直線的方程．著重考查了直線的方程、基本不等式求最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．