Question

（2013•汕尾二模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐D-PAC的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得到DA∥BC，結(jié)合BC⊥PB得到DA⊥PB，再由DA⊥AB且AB、PB是平面PAB內(nèi)的相交直線(xiàn)，證出DA⊥平面PAB；
（2）根據(jù)正弦定理的面積公式，算出△PAB=

3

2

，由DA⊥平面PAB且AD∥BC證出BC⊥平面PAB，得BC是三棱錐C-PAB的高線(xiàn)，由此算出V_C-PAB=

3

6

，最后根據(jù)等底等高的棱錐體積相等，得到V_D-PAC=V_C-PAB=

3

6

．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為矩形，∴DA⊥AB，且DA∥BC，…（1分）
∵∠PBC=90°，得BC⊥PB，∴DA⊥PB…（3分）
又∵AB∩PB=B，AB、PB?平面PAB
∴DA⊥平面PAB，…（5分）
（Ⅱ）∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，
∴根據(jù)正弦定理，得△PAB的面積為S_△PAB=

1

2

×1×2×sin120°=

3

2

，…（7分）
由（1）DA⊥平面PAB，且AD∥BC．可得BC⊥平面PAB，
∴BC是三棱錐C-PAB的高線(xiàn)，…（9分）
因此，可得V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

，…（10分）
∵V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB…（12分）
∴三棱錐D-PAC的體積V_D-PAC=V_C-PAB=

3

6

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為矩形且一個(gè)側(cè)面與底面垂直的四棱錐，求證線(xiàn)面垂直并求錐體的體積，著重考查了線(xiàn)面垂直的判定定理、用正弦定理求三角形的面積和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．