Question

已知

a

=(sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）若

a

⊥

b

，求x的取值集合；（2）求函數(shù)f（x）的周期及增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩向量垂直時(shí)其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到一個(gè)關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)等于-

3

2

，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出x的范圍，進(jìn)而得到x的取值集合；
（2）由（1）求出的f（x）的解析式，找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
而

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∴sin（2x+

π

3

）+

3

2

=0，即sin（2x+

π

3

）=-

3

2

，
∴2x+

π

3

=2kπ-

2π

3

或2x+

π

3

=2kπ-

π

3

（k∈Z），
解得：x=kπ-

π

2

或x=kπ-

π

3

（k∈Z），
∴x的取值集合為{x|x=kπ-

π

2

或x=kπ-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，∴f（x）的周期T=

2π

2

=π，
∵y=sinx的增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴f（x）的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：此題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．