Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由∠ADB=90°，得BD⊥AD．因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．由此能夠證明BD⊥PA．
（Ⅱ）以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD=a，則=（-a，a，0），=（-a，0，0），=（-a，0，a），=（-a，a，-a）．從而得到平面PAB的法向量=（3，，3）．同理，求得平面PBC的一個法向量為=（0，-1，-）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因為PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因為PA?平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD=a，則
A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，a，0），P（0，0，a），
=（-a，a，0），=（-a，0，0），
=（-a，0，a），=（-a，a，-a）．
設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），
得
設(shè)y=，則x=z=3，
得=（3，，3）．
同理，可求得平面PBC的一個法向量為=（0，-1，-）．
所以cos＜，＞==-．
由圖形知，二面角A-PB-C為鈍角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-．…（12分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運用．易錯點是容易忽視二面角是鈍角的情況．