定義在R+上的增函數(shù)f(x)滿足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求f(1)、f(4)的值;
(2)若f(x)+f(5-x)>2,求x的取值范圍.
解:(1)f(2)=f(2×1)=f(2)+f(1)=1
∴f(1)=0
f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
(2)f(x)+f(5-x)=f[x•(5-x)]>2=f(2)+f(2)=f(4),
因為f(x)是增函數(shù),所以x(5-x)>4,即x2-5x+4<0,x的范圍為1<x<4,
因為定義在R+上,所以x>0,5-x>0結合1<x<4,
所以最終得到實數(shù)x的取值范圍是1<x<4
分析:(1)根據(jù)題意,分析可得:f(2)=f(2)+f(1),把f(2)=1代入求得f(1);根據(jù)f(4)=f(2)+f(2),把f(2)=2代入即可求得f(4)
(2)根據(jù)題設可知f(x)+f(5-x)=f[x•(5-x)]>2,同時2=f(4),進而根據(jù)函數(shù)單調性求得x(5-x)>4求得x的范圍,同時根據(jù)函數(shù)單調性知可知x>0,5-x>0最后取交集,x的范圍可得.
點評:本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用.解題的關鍵是靈活利用特設中關系式,同時還要注意函數(shù)的定義域的問題.