Question

如圖所示是函數(shù)f（x）=x³+bx²+3cx+d的大致圖象，方程在x∈[-2，2]內(nèi)有解，則m的取值范圍是（ ）

A．
B．[-10，2]
C．[-10，-1]
D．

Answer 1

【答案】分析：先利用函數(shù)f（x）的圖象，知函數(shù)過原點(diǎn)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，即f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0，代入解析式即可解得b、c、d的值，再將方程在x∈[-2，2]內(nèi)有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x³-x²-x，的值域問題，利用導(dǎo)數(shù)求其在閉區(qū)間[-2，2]內(nèi)的最值即可
解答：解：由函數(shù)f（x）的圖象可知：f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0
∵f（x）=x³+bx²+3cx+d，f′（x）=3x²+2bx+3c
∴解得：b=-，c=-6，d=0
∴方程在x∈[-2，2]內(nèi)有解，即方程x³-x²-x-m=0在x∈[-2，2]內(nèi)有解，
即m=x³-x²-x在x∈[-2，2]內(nèi)有解，
設(shè)g（x）=x³-x²-x，則g′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1）
∴當(dāng)x∈[-2，-]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈[-，1]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
而g（-2）=-10，g（-）=，g（1）=-1，g（2）=2
∴g（x）∈[-10，2]
即m∈[-10，2]
故選 B
點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題中轉(zhuǎn)化化歸的思想方法