Question

求與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線且過A(2

3

，-3)點的雙曲線方程及離心率．

Answer 1

分析：根據題意，設雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)，將A點坐標代入可得λ=-

1

4

，代入所設方程再化成標準方程即可．再由所得雙曲線的標準方程，不難求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵所求雙曲線與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線
∴設雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)（3分）
又∵點A(2

3

，-3)在雙曲線上，∴λ=

12

16

-

9

9

=-

1

4

．…（8分）
可得所求雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=-

1

4

，
化成標準形式，得

y2

9 4

-

x2

4

=1，從而a²=

9

4

，c²=

9

4

+4=

25

4

，
因此，離心率滿足e²=

25 4

9 4

=

25

9

，解之得e=

5

3

．…（12分）

點評：本題給出雙曲線與已知雙曲線共漸近線且過已知點，求雙曲線的方程并求離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．