一圓形紙片的半徑為10cm,圓心為O,F為圓內(nèi)一定點(diǎn),OF=6cm,M為圓周上任意一點(diǎn),把圓紙片折疊,使M與F重合,然后抹平紙片,這樣就得到一條折痕CD,設(shè)CD與OM交于P點(diǎn),如圖
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:直線CD為點(diǎn)P軌跡的切線.
⑴⑵略
(1)由題意知點(diǎn)M、F關(guān)于直線CD對稱,可聯(lián)想橢圓的定義求點(diǎn)P的軌跡;(2)可用反證法來證明。
解(1)由題意知點(diǎn)M、F關(guān)于直線CD對稱,連結(jié)PF,則PF=NF,故PF+PO=PO+PM=10>6=OF.
故點(diǎn)P 的軌跡是以O(shè)、F為焦點(diǎn)、長軸長為10 的橢圓。以O(shè)F所在的直線為x軸,線段OF的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。易求得點(diǎn)P的方程為:;
(2)假設(shè)CD不是點(diǎn)P軌跡的切線。則直線CD與橢圓一定相交。
設(shè)Q是CD上異于P的另一個交點(diǎn),
則QF+QO=QM+QO>OM,這與點(diǎn)Q在橢圓上矛盾,假設(shè)不成立。
故直線CD與該橢圓切于點(diǎn)P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東省培正中學(xué)2011-2012學(xué)年高二第一學(xué)期期中考考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:044
一圓形紙片的半徑為10 cm,圓心為O,F為圓內(nèi)一定點(diǎn),OF=6 cm,M為圓周上任意一點(diǎn),把圓紙片折疊,使M與F重合,然后抹平紙片,這樣就得到一條折痕CD,設(shè)CD與OM交于P點(diǎn),如圖
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:直線CD為點(diǎn)P軌跡的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012年廣東省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分14分) 一圓形紙片的半徑為10cm,圓心為O,
F為圓內(nèi)一定點(diǎn),OF=6cm,M為圓周上任意一點(diǎn),把圓紙片折疊,
使M與F重合,然后抹平紙片,這樣就得到一條折痕CD,設(shè)CD
與OM交于P點(diǎn),如圖
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:直線CD為點(diǎn)P軌跡的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年重慶94中高三(上)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
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