Question

如圖，已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10，橢圓上不同的兩點A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列．

(1)求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由橢圓定義及條件知，2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，得a＝5，又c＝4，所以b＝＝3． 　　故橢圓方程為＝1． 　　(2)由點B(4，yB)在橢圓上，得|F2B|＝|yB|＝．因為橢圓右準線方程為x＝，離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|＝(－x1)，|F2C|＝(－x2)， 　　由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得 　　(－x1)＋(－x2)＝2×，由此得出：x1＋x2＝8． 　　設(shè)弦AC的中點為P(x0，y0)，則x0＝＝4． 　　(3)解法一：由A(x1，y1)，C(x2，y2)在橢圓上． 　　得 　�、伲�②得9(x12－x22)＋25(y12－y22)＝0， 　　即9×＝0(x1≠x2) 　　將(k≠0)代入上式，得9×4＋25y0(－)＝0(k≠0) 　　即k＝y0(當k＝0時也成立)． 　　由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0＝4k＋m，所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0． 　　由點P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜，所以－＜m＜．