Question

某工廠年初用98萬元購買一臺新設備，第一年設備維修及燃料、動力消耗（稱為設備的低劣化）的總費用12萬元，以后每年都增加4萬元，新設備每年可給工廠收益50萬元．
（Ⅰ）工廠第幾年開始獲利？
（Ⅱ）若干年后，該工廠有兩種處理該設備的方案：①年平均獲利最大時，以26萬元出售該設備；②總純收入獲利最大時，以8萬元出售該設備，問哪種方案對工廠合算？

Answer 1

分析：（Ⅰ）每年費用是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，第n年時累計的純收入f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，
獲利為f（n）＞0，解得n的值，可得第幾年開始獲利；
（Ⅱ）計算方案①年平均獲利最大時及總收益；方案②總純收入獲利最大時及總收益；比較兩種方案，總收益相等，第一種方案需7年，第二種方案需10年，應選擇第一種方案．

解答：解：（Ⅰ）由題設每年費用是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，設第n年時累計的純收入為f（n），
則f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n²-98，
獲利為：f（n）＞0，∴4n-2n²-98＞0，即n²-20n+49＜0，∴10-

51

＜n＜10+

51

；
又n∈N，∴n=3，4，5，…，17；
∴當n=3時，即第3年開始獲利．
（Ⅱ）①年平均收入為：

f(n)

n

=40-2(n+

49

n

)≤40-4

n• 49 n

=12（萬元）
即年平均收益最大時，總收益為：12×7+26=110（萬元），此時n=7；
②f（n）=-2（n-10）²+102，∴當n=10時，f（n）_max=102；
總收益為110萬元，此時n=10；
比較兩種方案，總收益均為110萬元，但第一種方案需7年，第二種方案需10年，
故選擇第一種方案．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應用問題，也是方案設計的問題；解題時應細心分析，認真解答，以免出錯．