Question

下面有五個(gè)命題：
①函數(shù)y=-sin⁴x+cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}}；
③把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
④函數(shù)y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是單調(diào)遞減的；
⑤直線y=a（a為常數(shù)）與正切曲線y=tanωx（ω＞0）相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離是

2π

ω

．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①，利用三角函數(shù)間的關(guān)系式與二倍角的余弦，化簡可得函數(shù)y=cos2x，可知其最小正周期是π，可判斷①；
②，寫出終邊在y軸上的角的集合，可判斷②；
③，利用三角恒等變換把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

，求得其解析式，可判斷③；
④，利用誘導(dǎo)公式化簡得y=-cosx，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可判斷④；
⑤，利用正切函數(shù)的周期性質(zhì)，可知直線y=a（a為常數(shù)）與正切曲線y=tanωx（ω＞0）相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離是

π

ω

，可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，因?yàn)閥=-sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）（-sin²x+cos²x）=cos2x，其最小正周期是π，所以①正確；
對(duì)于②，終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin[3（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x的圖象，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=sin（x-

π

2

）=-cosx在[0，π]上是單調(diào)遞增的，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，直線y=a（a為常數(shù)）與正切曲線y=tanωx（ω＞0）相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離是

π

ω

，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，以上5個(gè)選項(xiàng)中，只有①③正確，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查三角函數(shù)的恒等變換與圖象變換，考查正弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期性、余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔題．