Question

設(shè)二次方程，有兩根和，且滿足，
（1）試用表示；
（2）證明是等比數(shù)列；
（3）設(shè)，，為的前n項(xiàng)和，證明，（）。

Answer 1

（1），；（2）見解析；（3）

本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎(chǔ)，屬于中檔題．
（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得
（2）對（1）的結(jié)論兩邊同時(shí)減去 ，整理即可證：數(shù)列{a_n- }是等比數(shù)列；
（3）先利用（2）求出數(shù)列{a_n- }的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和，然后利用錯(cuò)位相減法得到結(jié)論。
（1）即，可推出，
（2），且
∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；
（3），  


兩式相減得  
整理得