Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B為焦點，且過點D的雙曲線的離心率為e₁；以C，D為焦點，且過點A的橢圓的離心率為e₂，則e₁+e₂的取值范圍為 （ ）

A．[2，+∞）
B．（，+∞）
C．[，+∞）
D．（，+∞）

Answer 1

【答案】分析：連接BD、AC，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），根據(jù)余弦定理表示出BD，進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e₁，同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e₂的關(guān)系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的值，最后利用基本不等式求出e₁+e₂的取值范圍即可．
解答：解：連接BD，AC，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），
則BD==，
∴雙曲線中a=，e₁=．
∵AC=BD，
∴橢圓中CD=2t（1-cosθ）=2c′，
∴c'=t（1-cosθ），
AC+AD=+1，
∴a'=（ +1）
e₂==，
∴e₁e₂=×=1，
∴e₁+e₂=2，即則e₁+e₂的取值范圍為[2，+∞）．
故選A．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．