Question

四川汶川抗震指揮部決定建造一批簡易房（房型為長方體狀，房高2.5米），前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復(fù)合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算（即：鋼板的高均為2.5米，用鋼板的長度乘以單價就是這塊鋼板的價格），每米單價：彩色鋼板為450元，復(fù)合鋼板為200元．房頂用其它材料建造，每平方米材料費為200元．每套房材料費控制在32000元以內(nèi)．
（1）設(shè)房前面墻的長為x，兩側(cè)墻的長為y，所用材料費為p，試用x，y表示p；
（2）簡易房面積S的最大值是多少？并求當(dāng)S最大時，前面墻的長度應(yīng)設(shè)計為多少米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可分別求得前面墻，兩側(cè)墻和房頂?shù)馁M用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表達(dá)式和基本不等式求得關(guān)于

S

的不等式關(guān)系，求得

S

的范圍，以及等號成立條件求得x的值．

解答：解：（1）P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即P=900x+400y+200xy
（2）S=xy，且P≤32000；
由題意可得：P=200S+900x+400y≥200S+2

900×400S

∴200S+1200

S

≤P≤32000
∴（

S

）2+6

S

-160≤0
∴0＜

S

≤10
當(dāng)且僅當(dāng)

900x=400y xy=100

，即x=

20

3

取最大值；
答：簡易房面積S的最大值為100平方米，此時前面墻設(shè)計為

20

3

米．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力．