Question

已知非零向量、、、滿足：，B、C、D為不共線三點，給出下列命題：
①若，則A、B、C、D四點在同一平面上；
②當(dāng)時，若，，，，則α+β的最大值為；
③已知正項等差數(shù)列a_n（n∈N*），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則的最小值為9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點共線且A分所成的比λ一定為．
其中你認為正確的所有命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)空間四點共面的充要條件若且α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；可知①正確；②把兩邊平方，化成3=α²，即=（α+β）²-（2）αβ+2，利用基本不等式即可求得α+β的最大值為4+2，，故可知②錯；③根據(jù)α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，可得a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₃+a₂₀₀₈=1，利用基本不等式即可求得結(jié)果；④根據(jù)三點共線的充要條件可知且α+β=1，則A、B、C三點共線，而A分所成的比λ一定為錯，如點A在線段BC的延長線上，且BA=，λ=-3，而此時的，因此錯．
解答：解：①若α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；①正確；
②，兩邊平方得，3=α²
=（α+β）²-（2）αβ+2≥（α+β）²-（2）+2，
∴α+β≤4+2，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故②錯；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，則=（）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9．③對．
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點共線，
若點A在線段BC的延長線上，且BA=，λ=-3，
而
=，
∴，∴，
故④錯
故答案為①③．
點評：此題是個中檔題，綜合題．考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識和基本方法，要說明一個命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．