Question

已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a1=5．
（1）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列(

an+λ

2n

)為等差數(shù)列，請(qǐng)求出λ的值；
（2）在（1）的條件下，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義建立條件關(guān)系即可求出λ的值；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．即可求解．

解答：解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ符合題意．
則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

，
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1．
故存在實(shí)數(shù)λ=-1．使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1，
∴d=1，且首項(xiàng)為

a1-1

2

=

4

2

=2，
∴

an-1

2n

=2-(n-1)=n-1，
∴an=(n+1)2n-1(n∈N*)
令bn=(n-1)2n且前n項(xiàng)和為T_n，
∴Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)2n…①
2Tn=2×22+3×23++…+n×2n(n+1)2n-1…②
①-②得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n-1=2+(2+…+2n)+(n-1)2n-1=2^n-1-（n+2）2ⁿ⁺¹=-n•2^n-1，
∴Tn=n•2n-1．
∴Sn=n•2n-1+n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式，以及等差數(shù)列數(shù)，要求熟練掌握相應(yīng)的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及利用錯(cuò)位相減法求熟練的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．