Question

已知

AB

=（6，1），

BC

=（x，y），

CD

=（-2，-3）
（1）若

BC

∥

DA

，求y=f（x）的解析式
（2）在（1）的條件下，若

AC

⊥

BD

，求x與y的值以及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,正弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，由

BC

∥

DA

，列出方程，求出x與y的關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)

AC

⊥

BD

，列出方程，由（1）的方程組成方程組，求出解來，計(jì)算出四邊形ABCD的面積．

解答： 解：（1）∵

AB

=（6，1），

BC

=（x，y），

CD

=（-2，-3），
∴

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（6，1）+（x，y）+（-2，-3）=（x+4，y-2），
∴

DA

=（-x-4，-y+2）；
又∵

BC

∥

DA

，
∴x（-y+2）-y（-x-4）=0，
解得y=-

1

2

x；
（2）∵

AC

=

AB

+

BC

=（x+6，y+1），

BD

=

BC

+

CD

=（x-2，y-3），且

AC

⊥

BD

，
∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，
即x²+y²+4x-2y-15=0；
∴

y=- 1 2 x x2+y2+4x-2y-15=0

，
解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

；
當(dāng)x=-6，y=3時(shí)，

AC

=（0，4），

BD

=（-8，0），
四邊形ABCD的面積為

1

2

|

AC

||

BD

|=

1

2

×4×8=16；
當(dāng)x=2，y=-1時(shí)，

AC

=（8，0），

BD

=（0，-4），
四邊形ABCD的面積SABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=

1

2

×8×4=16．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，也考查了向量的平行與垂直的應(yīng)用問題，是綜合性題目．