Question

如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE平面BDF；
（2）求三棱錐D﹣ACE的體積．

Answer 1

證明：（1）設(shè)AC∩BD=G，連接GF．
因?yàn)锽F⊥面ACE，CE面ACE，所以BF⊥CE．
因?yàn)锽E=BC，所以F為EC的中點(diǎn)．
在矩形ABCD中，G為AC中點(diǎn)，所以GFAE．
因?yàn)锳E面BFD，GF面BFD，
所以AE面BFD．
（2）取AB中點(diǎn)O，連接OE．因?yàn)锳E=EB，所以O(shè)E⊥AB．
因?yàn)锳D⊥面ABE，OE面ABE，所以O(shè)E⊥AD，
所以O(shè)E⊥面ADC．
因?yàn)锽F⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE．
因?yàn)镃B⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE面BCE，所以AE⊥EB．
所以，．
故三棱錐E﹣ADC的體積為．