Question

（14分）在正四棱柱中，E,F分別是的中點(diǎn)，G為上任一點(diǎn)，EC與底面ABCD所成角的正切值是4.

（Ⅰ）求證AGEF；

（Ⅱ）確定點(diǎn)G的位置，使AG面CEF,并說明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）CG=CC₁（3）

【解析】∵是正四棱柱

    ∴ABCD是正方形，設(shè)其邊長為2a,ÐECD是EC與底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC₁, ∴CC₁=4EC₁=4a.……………1分

以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在的直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。

則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

A₁(0,0,4a),B₁(2a,0,4a),C₁(2a,2a,4a),D₁(0,2a,4a),

E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),設(shè)G(2a,2a,b)(0<b<4a)………………3分

（Ⅰ）=（2a,2a,b）,=(a,-a,0),=2a²-2a²+0=0,

∴AGEF   ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG面CEF，只需AGCE,

只需=（2a,2a,b）×（-a,0,4a）=-2a²+4ab=0,

∴b=a,即CG=CC₁時，AG面CEF。………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)G(2a,2a, a)時，是平面CEF的一個法向量，

由題意可得，是平面CEC₁的一個法向量，

設(shè)二面角的大小為q，

則cosq===,

二面角的余弦值為.    …………………………14分

（運(yùn)用綜合法相應(yīng)給分）