Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2）．
（1）試確定t的范圍，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，t]上為增函數(shù)；
（2）求證：f（t）＞f（-2）；
（3）求證：對(duì)任意t＞-2，總有x₀∈（-2，t）滿足，并確定這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）解：因?yàn)閒′（x）=（2x-3）e^x+（x2-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（2）證：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），
（3）證：因?yàn)?=x₀²-x₀，
∴，
即為x₀²-x₀=，
令g（x）=x²-x-，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（-2，t）上有解并討論解的個(gè)數(shù)，
因?yàn)間（-2）=6-=-，
g（t）=t（t-1）-=
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足 ，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x0適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x₀適合題意
分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（2）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，
（3）首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．