Question

1．（1）設(shè)a≥b＞0，求證：3a³+2b³≥3a²b+2ab²；
（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：$\frac{1+b}{a}$，$\frac{1+a}$中至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

分析 （1）先作差，然后利用綜合法的思想證明即可．
（2）利用反證法，假設(shè)$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$都不小于2，推出矛盾結(jié)果即可．

解答 （1）證明：3a³+2b³-（3a²b+2ab²）=3a²（a-b）+2b²（b-a）=（3a²-2b²）（a-b）．
因?yàn)閍≥b＞0，所以a-b≥0，3a²-2b²＞0，從而（3a²-2b²）（a-b）≥0，
即3a³+2b³≥3a²b+2ab²
（2）證明：假設(shè)$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$都不小于2，則$\frac{1+b}{a}≥2，\frac{1+a}≥2$
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）即2≥a+b，
這與已知a+b＞2相矛盾，故假設(shè)不成立．
綜上$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}$中至少有一個(gè)小于2．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，作差法與反證法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．