Question

   已知定義在上的函數(shù)滿足：，且對于任意實數(shù)，

   總有成立.

 （1）求的值，并證明為偶函數(shù)；

 （2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；  

 （3）若對于任意非零實數(shù)，總有.設(shè)有理數(shù)滿足，判斷和 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解:（1）令，，又，. 

令，得 ，即

    對任意的實數(shù)總成立， 為偶函數(shù).                  

（2）令，得 ，，.

   .                                         

令，得，

.                                         

是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.                           

∴.                                                       

（3）結(jié)論：.                                                 

證明：∵時，,

∴，即.

∴令（），故，總有成立.

                                                                       

則.

∴對于，總有成立.                             

∴對于，若，則有成立.

∵，所以可設(shè)，其中是非負(fù)整數(shù)，都是正整數(shù)，

則，令，，則.

∵，∴，∴，即.            

∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴.

   ∴.