Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₂⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點，F是AB中點，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求證：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB₁的中點G，聯結EG，FG，易證四邊形FGEC是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得CF∥平面AB₁E；
（2）依題意，可證得AC⊥BB₁，進而可證AC⊥平面EB₁C，結合已知，利用=即可求得三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．
解答：解：（1）證明：取AB₁的中點G，聯結EG，FG，
∵F、G分別是AB、AB₁中點，
∴FG∥BB₁，FG=BB₁，
∵E為側棱CC₁的中點，
∴FG∥EC，FG=EC，
所以四邊形FGEC是平行四邊形         …（4分）
∴CF∥EG，
∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．…（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB₁∩BC=B．
∴AC⊥平面EB₁C，
∴AC⊥CB₁…（8分）
∴=•AC=×（×1×1）×1=…（10分）
∵AE=EB₁=，AB₁=，
∴=，
∵=，
∴三棱錐C-AB₁E的高為=…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的性質，考查三棱錐的體積輪換公式的運用，考查推理證明與運算能力，屬于中檔題．