Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，則有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）內(nèi)恒成立，問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，根據(jù)基本不等式得到結(jié)果．
（2）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，把這個根代入得到字母系數(shù)的值，求出函數(shù)的極值，把極值同兩個端點的值進行比較得到最值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，
則有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）內(nèi)恒成立，
即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）內(nèi)恒成立，
又

3x

2

+

3

2x

≥3（當且僅當x=1時，取等號），所以a≤3
（2）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，可得a=5，
所以f'（x）=3x²-10x+3=0的根為x=3或 x=

1

3

（舍去），
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．

點評：本題考查導數(shù)的應用，求極值和求最值，本題是一個適合文科學生做的解答題目，對于理科學生知識點有點單一，需要加上其他的知識點．