Question

已知直線L被兩平行直線L₁：2x-5y=-9與L₂：2x-5y-7=0所截線段AB的中點(diǎn)恰在直線x-4y-1=0上，已知圓C：（x+4）²+（y+1）²=25．
（Ⅰ）求兩平行直線L₁與L₂的距離；
（Ⅱ）證明直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅲ）求直線L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程．

Answer 1

解：（1）根據(jù)兩平行直線的距離公式可得：
（2）由題意，與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線可設(shè)為2x-5y+c=0
則根據(jù)距離公式可得：|c-9|=|c+7|，∴c=1，
∴與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線為2x-5y+1=0
∴AB的中點(diǎn)必在直線2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0，x-4y-1=0可知，兩直線的交點(diǎn)為P（-3，-1）
∴直線L恒過(guò)定點(diǎn)P（-3，-1）
∵（-3+4）²+（-1+1）²＜25．
∴P（-3，-1）在圓C的內(nèi)部
∴直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）直線L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，CP⊥L
∵C（-4，-1），P（-3，-1）
∴所求直線方程為x=-3
分析：（1）根據(jù)兩平行直線的距離公式可得兩平行直線L₁與L₂的距離；
（2）先求與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線，再求出與x-4y-1=0的交點(diǎn)，從而可得直線L恒過(guò)定點(diǎn)P（-3，-1），進(jìn)而P（-3，-1）在圓C的內(nèi)部，從而可知直線L與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）直線L被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，CP⊥L，根據(jù)C（-4，-1），P（-3，-1），即可求得
點(diǎn)評(píng)：本題以兩條平行線為載體，考查兩平行線間的距離公式，考查兩條直線的交點(diǎn)，同時(shí)考查點(diǎn)與圓，直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用兩平行線間的距離公式，合理轉(zhuǎn)化．