Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)棱CC₁⊥底面ABC，M為BC的中點(diǎn)，$AC=AB=3，BC=2，C{C_1}=\sqrt{2}$．
（1）證明：B₁C⊥平面AMC₁；
（2）求點(diǎn)A₁到平面AMC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）證明CC₁⊥AM，經(jīng)過計(jì)算推出MC₁⊥B₁C，結(jié)合AM⊥B₁C，即可證明B₁C⊥平面AMC₁．
（2）設(shè)點(diǎn)A₁到平面AMC₁的距離為h，利用${V_{{A_1}-AMC}}={V_{{C_1}-AMC}}$，推出$\frac{1}{3}{S_{△AM{C_1}}}•h=\frac{1}{3}{S_{△AMC}}•C{C_1}$，然后求解點(diǎn)A₁到平面AMC₁的距離．

解答 解：（1）證明：在△ABC中，AC=AB，M為BC的中點(diǎn)，
故AM⊥BC，又側(cè)棱CC₁⊥底面ABC，所以CC₁⊥AM，
又BC∩CC₁=C，所以AM⊥平面BCC₁B₁，
則AM⊥B₁C，在Rt△BCB₁中，$tan∠{B_1}CB=\frac{{{B_1}B}}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；在Rt△MCC₁中，$tan∠M{C_1}C=\frac{MC}{{{C_1}C}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以∠B₁CB=∠MC₁C，
又∠B₁CB+∠C₁CB₁=90°，所以∠MC₁C+∠C₁CB₁=90°，
即MC₁⊥B₁C，又AM⊥B₁C，AM∩MC₁=M，所以B₁C⊥平面AMC₁．

（2）設(shè)點(diǎn)A₁到平面AMC₁的距離為h，由于${V_{{A_1}-AM{C_1}}}={V_{M-{A_1}A{C_1}}}={V_{{C_1}-AMC}}$，
∴${V_{{A_1}-AMC}}={V_{{C_1}-AMC}}$，即$\frac{1}{3}{S_{△AM{C_1}}}•h=\frac{1}{3}{S_{△AMC}}•C{C_1}$，于是$h=\frac{{{S_{△AMC}}•C{C_1}}}{{{S_{△AM{C_1}}}}}=\frac{{\frac{1}{2}•AM•MC•C{C_1}}}{{\frac{1}{2}•AM•{C_1}M}}=\frac{{MC•C{C_1}}}{{{C_1}M}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以點(diǎn)A₁到平面AMC₁的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，等體積法的應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．