Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-4lnx-1，
∴f（1）=0
又f′(x)=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1處的切線方程為2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因為f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）
所以f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x2-a)

x

（x＞0）--------------（6分）
（1）當a＜0時，
因為x＞0，且x²-a＞0，
所以f'（x）＞0對x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值---------------------（8分）
（2）當a＞0時，
令f'（x）=0，解得x₁=

a

，x₂=-

a

（舍）------------------------（10分）
所以，當x＞0時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

	x	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
	f'（x）	-	0	+
	f（x）	↘	極小值	↗

------------------------------------------------（12分）
所以，當x=

a

時，f（x）取得極小值，且f（x）_極小值=a-alna-1．
綜上，當a＜0時，方程f'（x）=0無解，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=

a

處取得極小值f（x）_極小值=a-alna-1．--------------（13分）