Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面EBD；
（Ⅱ）若PA=AB=2，直線PB與平面EBD所成角的正弦值為

1

4

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又BD⊥PC，根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC，根據(jù)BD?平面EBD，進而可知平面PAC⊥平面EBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，推斷出ABCD是菱形，BC=AB=2．設AC∩BD=O，建立如圖所示的坐標系O-xyz，設OB=b，OC=c，
進而表示出P，B，E，C．

PB

，

OB

，

OE

．設n=（x，y，z）是面EBD的一個法向量，則n•

OB

=n•

OE

=0，即

bx=0 -cy+z=0

取n=（0，1，c），求得BC．記直線PB與平面EBD所成的角為θ，由已知條件根據(jù)向量的數(shù)量積求得sinθ求得b和c，
進而求得四棱錐P-ABCD的體積

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又BD⊥PC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面EBD，
∴平面PAC⊥平面EBD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，
∴ABCD是菱形，BC=AB=2．
設AC∩BD=O，建立如圖所示的坐標系O-xyz，設OB=b，OC=c，
則P（0，-c，2），B（b，0，0），E（0，-c，1），C（0，c，0）．

PB

=（b，c，-2），

OB

=（b，0，0），

OE

=（0，-c，1）．
設n=（x，y，z）是面EBD的一個法向量，則n•

OB

=n•

OE

=0，
即

bx=0 -cy+z=0

取n=（0，1，c）．
依題意，BC=

b2+c2

=2．①
記直線PB與平面EBD所成的角為θ，由已知條件
sinθ=

|n• PB |

|n|•|PB|

=

c

(1+c2)(b2+c2+22)

=

1

4

．②
解得b=

3

，c=1．
所以四棱錐P-ABCD的體積
V=

1

3

×2OB•OC•PA=

1

3

×2

3

×1×2=

4 3

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的運用，法向量的應用等知識．注重了對學生分析問題和推理能力的考查．