設(shè)的定義域為,的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

(2)設(shè)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)，若，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

(Ⅰ) 在上是增函數(shù).

(Ⅱ) .

（Ⅲ）


解析:

(Ⅰ)由于得，，而，則，

則，因此在上是增函數(shù).

(Ⅱ)由于，，則，而在上是增函數(shù)，

則，即，∴（1），

同理 （2）

（1）+（2）得：，而，

因此 .

（Ⅲ）證法1: 由于，，則，而在上是增函數(shù)，則，即，

∴

同理

以上個不等式相加得：

而

證法2：數(shù)學(xué)歸納法

（1）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，不等式成立；

（2）當(dāng)時，不等式成立，

即成立，

則當(dāng)時， +

再由(Ⅱ)的結(jié)論, +

+

因此不等式對任意的自然數(shù)均成立.

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(II)    判斷函^是否是集合M中的元素，并說明理由；

(III)   “對于（II)中函數(shù)定義域內(nèi)的任一區(qū)間，都存在，使得”，請利用函數(shù)的圖象說明這一結(jié)論.

 

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