Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

（Ⅰ）因為函數(shù)g（x）=f（x）-2為奇函數(shù)，
所以，對任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x³+ax²+3bx+c
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2．
所以

a=-a c-2=-c+2

解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³+3bx+2．
所以f'（x）=3x²+3b（b≠0）．
當b＜0時，由f'（x）=0得x=±

-b

．x變化時，f'（x）的變化情況如下：
x∈(-∞，-

-b

)，時f′（x）＞0
x∈(-

-b

，

-b

)，時f′（x）＜0
x∈(

-b

，+∞)，時f′（x）＞0
所以，當b＜0時，函數(shù)f（x）在(-∞，-

-b

)上單調遞增，
在(-

-b

，

-b

)上單調遞減，在(

-b

，+∞)上單調遞增．
當b＞0時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．