【題目】在平面直角坐標系
中，圓
：
，
，
，
為平面內一動點，若以線段
為直徑的圓與圓相切．
（1）證明
為定值，并寫出點的軌跡方程；
（2）設點的軌跡為曲線
，直線
過
交于
，
兩點，過且與垂直的直線與交于
，
兩點，求四邊形
面積的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析，軌跡方程為
．(2)
.
【解析】分析：第一問結合題中條件畫出相應的圖形，連接相關線段，利用中位線的長度以及兩圓內切時對應兩圓心之間的距離與半徑的關系，求得
，從而得到其為定值，之后借助于其范圍，利用橢圓的定義，求得其軌跡方程；第二問分直線的斜率不存在、為零、存在且不為零三種情況來分析對應的四邊形的面積，從而求得其范圍.
詳解：（1）設
的中點為
，連接
，
，
在
中，
，分別為
，的中點，所以
，
又圓與動圓相切，則
，所以
，即為定值，
，
所以點
的軌跡是以
，
為焦點的橢圓，
設橢圓方程為
，則
，
，
，
所以點的軌跡方程為．
（2）①當直線
的斜率不存在時，不妨設
，
，
，
，則
，
，四邊形
面積
；
②當直線的斜率為0時，同理可得四邊形面積
；
③當直線的斜率存在且不為0時，
可設直線的方程為
，設
，
，
聯(lián)立
得
，
，
，
，
同理
，
四邊形面積
，設
，
則
，
所以
；
綜上所述，四邊形面積的取值范圍是．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，直線
：
，
為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為
，且滿足
．
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點
作直線
與軌跡交于
，
兩點，
為直線上一點，且滿足
，若
的面積為
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知海島
在海島
北偏東
，，相距
海里，物體甲從海島以
海里/小時的速度沿直線向海島移動，同時物體乙從海島沿著海島北偏西
方向以
海里/小時的速度移動．
（1）問經過多長時間，物體甲在物體乙的正東方向；
（2）求甲從海島到達海島的過程中，甲、乙兩物體的最短距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]
D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．
（2）求證：函數
不存在“和諧區(qū)間”．
（3）已知：函數
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年4月4日召開的國務院常務會議明確將進一步推動網絡提速降費工作落實，推動我國數字經濟發(fā)展和信息消費，今年移動流量資費將再降30%以上，為響應國家政策，某通訊商計劃推出兩款優(yōu)惠流量套餐，詳情如下：
套餐名稱 | 月套餐費/元 | 月套餐流量/M |
A | 30 | 3000 |
B | 50 | 6000 |
這兩款套餐均有以下附加條款：套餐費用月初一次性收取，手機使用流量一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就會自動幫用戶充值2000M流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)再次自動幫用戶充值2000M流量，資費20元，以此類推。此外，若當月流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，不可次月使用。
小張過去50個月的手機月使用流量（單位：M）的頻數分布表如下：
月使用流量分組 | [2000,3000] | (3000,4000] | (4000,5000] | (5000,6000] | (6000,7000] | (7000,8000] |
頻數 | 4 | 5 | 11 | 16 | 12 | 2 |
根據小張過去50個月的手機月使用流量情況，回答以下幾個問題：
（1）若小張選擇A套餐，將以上頻率作為概率，求小張在某一個月流量費用超過50元的概率.
（2）小張擬從A或B套餐中選定一款，若以月平均費用作為決策依據，他應訂購哪一種套餐？說明理由.
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