Question

如圖6，已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F（1,0）且與x軸相切，點(diǎn)F 關(guān)于圓心M 的對稱點(diǎn)為 F'，動(dòng)點(diǎn)F’的軌跡為C．

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線C相交于另外兩點(diǎn)P 、Q．

①證明：直線PQ的斜率為定值；

②記曲線C位于P 、Q兩點(diǎn)之間的那一段為l．若點(diǎn)B在l上，且點(diǎn)B到直線PQ的

距離最大，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】第一問中利用直線育園的位置關(guān)系可知得到曲線C的軌跡方程

第二問中，（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．

設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k．  ………………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921425061016614/SYS201206192144238445483084_DA.files/image003.png">是曲線C：上的點(diǎn)，

所以，直線AP的方程為．

由與聯(lián)立，

解之得，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，

以-k替換k，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)

所以直線PQ的斜率為定值

再就是由①可知，，，

，所以直線QP的方程為，

整理得得到B的坐標(biāo)。

解：（1）（法1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓M上，

且點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F’，

所以，               …………1分

且圓M的直徑為．…………2分

由題意，動(dòng)圓M與y軸相切，

所以，兩邊平方整理得：，

所以曲線C的方程為．             ………………………………5分

（法2）因?yàn)閯?dòng)圓M過定點(diǎn)且與x軸相切，所以動(dòng)圓M在x軸上方，

連結(jié)FF’，因?yàn)辄c(diǎn)F關(guān)于圓心M的對稱點(diǎn)為F’，所以FF’為圓M的直徑．

過點(diǎn)M作軸，垂足為N，過點(diǎn)F’作軸，垂足為E（如圖6－1）．

在直角梯形EOFF’中，，

即動(dòng)點(diǎn)F’到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1． ……………………………3分

又動(dòng)點(diǎn)F’于軸的上方（包括軸上），

所以動(dòng)點(diǎn)F’到定點(diǎn)的距離與到定直線y=-1的距離相等．

故動(dòng)點(diǎn)F’的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=1為準(zhǔn)線的拋物線．

所以曲線C的方程為．             ……………………………5分

（2）①（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．

設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k．  ………………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921425061016614/SYS201206192144238445483084_DA.files/image003.png">是曲線C：上的點(diǎn)，

所以，直線AP的方程為．

由與聯(lián)立，

解之得，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，

以-k替換k，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，．       ………………8分

所以直線PQ的斜率為定值．………………10分

（法2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921425061016614/SYS201206192144238445483084_DA.files/image003.png">是曲線C：上的點(diǎn)，所以，

又點(diǎn)P、Q在曲線C：上，所以可設(shè)，，     …6分

而直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，

所以它們的斜率互為相反數(shù)，即，整理得．8分

所以直線pq的斜率為定值．   ………10分

②（法1）由①可知，，

，所以直線QP的方程為，

整理得．                   …………11分

設(shè)點(diǎn)在曲線段l上，因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，

所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)X在和之間，

所以，從而．

點(diǎn)B到直線QP的距離d=． ………12分

當(dāng)時(shí)，d的最大值為．

注意到，所以點(diǎn)在曲線段L上．

所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是． …………………………………………14分

（法2）由①可知，，結(jié)合圖6－3可知，

若點(diǎn)B在曲線段L上，且點(diǎn)B到直線PQ的距離最大，

則曲線C在點(diǎn)B處的切線L//QP．   ………………11分

設(shè)L：，由方程組

與，聯(lián)立可得

消去y，得．

令△=0，整理，得．……12分

代入方程組，解得，．

所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是． ……………………………………………14分

（法3）因?yàn)閽佄锞�C：關(guān)于y軸對稱，

由圖6－4可知，當(dāng)直線AP的傾斜角大于00且趨近于00時(shí)，直線AQ的傾斜角小于1800且趨近于1800，即當(dāng)直線AP的斜率大于0且趨近于0時(shí)，直線AQ的斜率小于0且趨近于0．

從而P、Q兩點(diǎn)趨近于點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)． ……11分

由拋物線C的方程和①的結(jié)論，

得，．

所以拋物線C以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線L//PQ．

……………………12分

所以曲線段L上到直線QP的距離最大的點(diǎn)就是點(diǎn)A’，

即點(diǎn)B、點(diǎn)A’重合．

所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是． ……………14分