如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA1=4，E、M、N分別是CC1、A1B1、AA1的中點(diǎn)，
（1）求證：A1B⊥C1M；
（2）求BN的長(zhǎng)；
（3）求二面角B1-A1E-C1平面角的余弦值。

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
（1），
，
，
，
∴，
∴A1B⊥C1M。
 （2）依題意得：B（0，2，0），N（2，0，2），
∴。
（3）依題意得：，
，
∴，
，
∴平面，
得，
設(shè)平面，
則，
∴y=-z，
，
∴x=-z，
令z=1，
則，
則，
由題意可知：二面角B1-A1E-C1的大小是銳角，
所以二面角B1-A1E-C1的平面角的余弦值是。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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