已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．

(Ⅰ)求證：EF⊥平面PAD；

(Ⅱ)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

答案：
解析：

　　解：方法1：(Ⅰ)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

　　∴平面PAD，

　　∵E、F為PA、PB的中點，

　　∴EF∥AB，∴EF平面PAD　　(6分)

　　(Ⅱ)解：過P作AD的垂線，垂足為O，

　　∵，則PO平面ABCD．

　　取AO中點M，連OG，EO，EM，

　　∵EF∥AB∥OG，

　　∴OG即為面EFG與面ABCD的交線　　(8分)

　　又EM∥OP，則EM平面ABCD．且OGAO，

　　故OGEO　∴即為所求　　(10分)

　　，EM＝OM＝1

　　∴tan＝故＝

　　∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是　　(12分)

　　方法2：(I)證明：過P作POAD于O，∵，

　　則PO平面ABCD，連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系　　(2分)

　　∵PA＝PD，∴，

　　得，

　　　　(4分)

　　故，

　　∵，

　　∴EF平面PAD　　(6分)

　　(Ⅱ)解：，

　　設(shè)平面EFG的一個法向量為

　　則，　　(8分)

　　平面ABCD的一個法向量為　　(10分)

　　平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：

　　，銳二面角的大小是　　(12分)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F(xiàn)是線段BC的中點．H為PD中點．
（1）證明：FH∥面PAB；
（2）證明：PF⊥FD；
（3）若PB與平米ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F(xiàn)是線段BC的中點．H為PD中點．
（1）證明：FH∥面PAB；
（2）證明：PF⊥FD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ＜
π2
），則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（1）證明：DF⊥平面PAF；
（2）在線段AP上取點G使AG=
14
AP，求證：EG∥平面PFD．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案