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已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．

(Ⅰ)求證：EF⊥平面PAD；

(Ⅱ)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

答案：
解析：

　　解：方法1：(Ⅰ)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

　　∴平面PAD，

　　∵E、F為PA、PB的中點，

　　∴EF∥AB，∴EF平面PAD　　(6分)

　　(Ⅱ)解：過P作AD的垂線，垂足為O，

　　∵，則PO平面ABCD．

　　取AO中點M，連OG，EO，EM，

　　∵EF∥AB∥OG，

　　∴OG即為面EFG與面ABCD的交線　　(8分)

　　又EM∥OP，則EM平面ABCD．且OGAO，

　　故OGEO　∴即為所求　　(10分)

　　，EM＝OM＝1

　　∴tan＝故＝

　　∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小是　　(12分)

　　方法2：(I)證明：過P作POAD于O，∵，

　　則PO平面ABCD，連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標系　　(2分)

　　∵PA＝PD，∴，

　　得，

　　　　(4分)

　　故，

　　∵，

　　∴EF平面PAD　　(6分)

　　(Ⅱ)解：，

　　設平面EFG的一個法向量為

　　則，　　(8分)

　　平面ABCD的一個法向量為　　(10分)

　　平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：

　　，銳二面角的大小是　　(12分)


練習冊系列答案
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π2
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AP，求證：EG∥平面PFD．

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