Question

 隨著石油資源的日益緊缺，我國決定建立自己的石油儲備基地，

已知某石油儲備基地原儲有石油噸，按計(jì)劃正式運(yùn)營后的第一年進(jìn)油量為已儲油量的25%，以后每年的進(jìn)油量均為上一年底儲油量的25%，且每年年內(nèi)用出噸，設(shè)為正式運(yùn)營后第年年底的石油儲量．

    （Ⅰ）求、、；

    （Ⅱ）猜測出的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明；

    （Ⅲ）為抵御突發(fā)事件，該油庫年底儲油量不得少于噸，如果噸，該油庫能否長期按計(jì)劃運(yùn)營？如果能，請加以證明；如果不能，請說明理由．

（計(jì)算中可供參考的數(shù)據(jù)：，）

   

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）依題意，油庫原有儲油量為a噸，則，

    ，

    ，…；      …………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）猜測：對于任意正整數(shù)恒有

    ，

    下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

    1^o當(dāng)時(shí)，，猜測成立； …………4分

    2^o假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，       …………5分

    那么，由，得

             ，

    這就是說當(dāng)時(shí)，猜測也成立，

    綜合1^o、2^o知，對于猜測都成立；           …………8分

    （Ⅲ）如果噸時(shí)，該油庫第年年底的儲油量不少于噸，

    ，∴≤3，        …………10分

    ∴=，       

    說明該油庫只能在5年內(nèi)運(yùn)營，因此不能長期運(yùn)營．      …………13分

    本題考查數(shù)列知識、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、不等式的解法和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，屬較難題．