Question

11．解關(guān)于x的不等式a（x²+1）≥2x．

Answer 1

分析 由題意分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得它的解集．

解答 解：①當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的不等式a（x²+1）≥2x，即 0≥2x，求得 x≤0，故不等式的解集為{x|x≤0}．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，關(guān)于x的不等式a（x²+1）≥2x，即ax²-2x+a≥0，
由于它的判別式△=4-4a²＞0，求得不等式的解集為{x|x≤1-$\sqrt{{1-a}^{2}}$，或x≥1+$\sqrt{{1-a}^{2}}$}．
③當(dāng)a≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式a（x²+1）≥2x，即ax²-2x+a≥0，由于△≤0，∴它的解集為R．
④當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式即ax²-2x+a≥0，
由于它的判別式△=4-4a²＞0，求得不等式的解集為{x|x＜1-$\sqrt{{1-a}^{2}}$≤x≤1+$\sqrt{{1-a}^{2}}$}．
⑤當(dāng)a=-1時(shí)，即-x²-2x-1=-（x+1）²≥0，求得 x=-1，故不等式的解集為{-1}．
⑥當(dāng)a＜-1時(shí)，關(guān)于x的不等式即ax²-2x+a≥0，由于它的判別式△＜0，∴它的解集為∅．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．