Question

已知函數(shù)，其中a＞0
（1）若f（x）的極大值點(diǎn)為x=-2，求a的值
（2）若不等式對任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2x-1）e^ax+a（）e^ax
=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令f′（x）=0，得x=-，或x=1．
∴極值點(diǎn)為x=-，或x=1．
∵f（x）的極大值點(diǎn)為x=-2，
∴-=-2，
解得a=1．
（2）∵不等式對任意x∈[0，+∞）恒成立，
，其中a＞0，
∴對任意x∈[0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=（）e^ax+，
則g′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令g′（x）=0，得x=-，或x=1．
∵a＞0，∴列表討論：

x	（0，-）	-	（-，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∵g（0）=＞0，g（1）=＜0，
∴f（1）=為最小值
∴≥0對x∈[0，+∞）恒成立，
∴a∈（0，ln3]．
分析：（1）f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，令f′（x）=0，得x=-，或x=1．再由f（x）的極大值點(diǎn)為x=-2，能求出a．
（2）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)將區(qū)間（0，+∞）分成幾段，然后利用列表法求出f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值，從而求出最小值，使[f（x）+]min≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問題的能力．