已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a3=10，S4=24．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，求證：Tn＜
3
4
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出an=2n+1．
（2）由Sn=
n(a1+an)
2
=
n(3+2n+1)
2
=n（n+2），利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn＜
3
4
．
解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1+a3=10，S4=24，
∴
2a1+2d=10
4a1+
4×3
2
d=24
，
解得a1=3，d=2，
∴an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）證明：由（1）得Sn=
n(a1+an)
2
=
n(3+2n+1)
2
=n（n+2），
∴Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn

=
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)

=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]…（10分）
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)
=
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)…（12分）
＜
3
4
．…（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則log2a+log2b的最大值為（　�。�
A、2
B、-2
C、
1
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文科）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){cn}=
bn
an
，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓x2+4y2=4，直線l：y=x+m
（1）若l與橢圓有一個公共點(diǎn)，求m的值；
（2）若l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一杯10L的清水中，有一條小魚，現(xiàn)任意取出1L清水，則小魚被取到的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+n．
（1）設(shè)集合P={-4，-1，1，2，3}和Q={-4，3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為m和n，求函數(shù)y=mx+n是減函數(shù)的概率；
（2）實(shí)數(shù)m，n滿足條件
m+n-1≤0
-1≤m≤1
-1≤n≤1
求函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過一、二、四象限的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

杜拉拉因卓越的表現(xiàn)，每兩年一晉升，工資也相應(yīng)的得到提高，在公司，她的工資成了同事談?wù)摰慕裹c(diǎn)，本報記者從DB公司獲取杜拉拉這幾年工資清單表，列表如下，如果杜拉拉計(jì)劃在其事業(yè)的第四階段年收入為40萬，那么下列三個函數(shù)，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），指數(shù)型函數(shù)g（x）=a•bx+c，對數(shù)型函數(shù)h（x）=a•lnx+b，哪一個是最佳模擬函數(shù)模型？
 階段 職位工資（年收入）
第一階段（29歲）銷售總監(jiān)秘書8萬
第二階段（31歲）HR主管18萬
第三階段（33歲）HR經(jīng)理30萬

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知x＞0、y＞0，且
1
x
+
9
y
=1，求x+y的最小值．
（2）設(shè)a、b、c＞0，證明：
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，2an+1=2an+1，n∈N+，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=
1
2
（1-
1
3n
），n∈N+
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=anbn，n∈N+，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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同步練習(xí)冊答案