Question

已知圓錐曲線C的焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

3

2

，其上的動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，
（Ⅰ）求曲線C的標準方程；
（Ⅱ）若曲線C的一條切線l交x、y軸正半軸交于A，B兩點，求S_△AOB的最小值和此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，利用離心率為

3

2

，求出c，即可求出b，從而可求曲線C的標準方程；
（Ⅱ）方程為y=kx+b（k＜0，b＞0）與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0，可得b²=4k²+1，表示出S_△AOB，利用基本不等式求最小值，從而得到此時直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，
∴a=2，
∵離心率為

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴曲線C的標準方程為

x2

4

+y2=1（3分）                    
（Ⅱ）由已知直線l的斜率存在且不為0，l交x、y軸正半軸交于A、B兩點，
可設方程為y=kx+b（k＜0，b＞0）（4分）
由

y=kx+b x2 4 +y2=1

消去y得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0（6分）
△=64k²b²-4（4k²+1）（4b²-4）=0，∴b²=4k²+1（8分）
∴S_△AOB=

1

2

|-

b

k

||b|=

1

2

|4k+

1

k

|=|2k|+|

1

2k

|≥2（9分）
當且僅當|2k|=|

1

2k

|（k＜0）即k=-

1

2

時等號成立，此時b=

2

（11分）
直線l的方程y=-

1

2

x+

2

，△AOB面積的最小值為2．（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．